АСИМПТОТИКИ ДЛИННЫХ ВОЛН, ПОРОЖДЕННЫХ ГАРМОНИЧЕСКИМИ ПО ВРЕМЕНИ ПРОСТРАНСТВЕННО ЛОКАЛИЗОВАННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ, В БАССЕЙНАХ С ПОЛОГИМИ БЕРЕГАМИ

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Для нелинейной и линеаризованной систем уравнений мелкой воды в бассейне с неровным дном и пологими берегами рассматривается задача о коротковолновых асимптотических решениях, описывающих волны, возбуждаемые гармоническим по времени пространственно локализованными источником. В линейном приближении такие асимптотические решения по существу выражаются через решения уравнения Гельмгольца, и задача их построения близка к задаче об асимптотике функции Грина. Мы используем недавно развитый подход, основанный на каноническом операторе Маслова и позволяющий находить глобальное асимптотическое решение линеаризованной задачи в любой наперед заданной области с учетом каустик и фокальных точек, а также вариационный принцип Ферма, который в сочетании с каноническом оператором дает возможность построить такое асимптотическое решение локально, то есть в окрестности заданной точки наблюдения. Линеаризованная задача рассматривается в фиксированной области, которая ограничена береговой линией, соответствующей жидкости в состоянии покоя. На этой линии уравнения вырождаются; соответственно корректная постановка задачи не требует (и не допускает) классических граничных условий, вместо них используется условие конечности интеграла энергии. С точки зрения асимптотической теории береговая линия представляет собой “нестандартную” каустику, в окрестности которой асимптотическое решение линеаризованной задачи выражается через модифицированный канонический оператор. Для исходной нелинейной системы рассматривается задача со свободной границей — положение береговой линии зависит от возвышения свободной поверхности. Согласно недавно развитому подходу, основанному на модифицированном преобразовании Кэрриера–Гринспена, асимптотическое решение нелинейной системы выражается через решение линеаризованной системы в виде параметрически заданных функций. Полученные формулы, в частности, описывают эффекты набега волн на берег. Библ. 37. Фиг. 5.

Об авторах

С. Ю. Доброхотов

Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН

Email: s.dobrokhotov@gmail.com
Москва, Россия

В. Е. Назайкинский

Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН

Email: nazaikinskii@yandex.ru
Москва, Россия

И. А. Носиков

ИЗМИ РАН им. Н.В. Пушкова

Email: igor.nosikov@gmail.com
Калининград, Россия

А. А. Толченников

Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН

Email: tolchennikovaa@gmail.com
Москва, Россия

Список литературы

  1. Бабич В.М. О коротковолновой асимптотике функции Грина для уравнения Гельмгольца // Матем. сб. 1964. Т. 65(107).№4. С. 576—630.
  2. Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972.
  3. Кучеренко В.В. Квазиклассическая асимптотика функции точечного источника для стационарного уравнения Шредингера // ТМФ. 1969. Т. 1.№3. С. 384—406.
  4. Вайнберг Б.Р.О коротковолновой асимптотике решений стационарных задач асимптотике при t →∞решений нестационарных задач // УМН. 1975. Т. 30.№2(182). С. 3—55.
  5. Аникин А.Ю., Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Руло М. Канонический оператор Маслова на паре лагранжевых многообразий и асимптотика решений стационарных уравнений с локализованными правыми частями // Докл. АН. 2017. Т. 475.№6. С. 624—628.
  6. Аникин А.Ю., Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Руло М. Лагранжевы многообразия и конструкция асимптотик для (псевдо)дифференциальных уравнений с локализованными правыми частями // Теор. и матем. физ. 2023. Т. 214. С. 3—29.
  7. Nosikov I.A., Klimenko M.V., Zhbankov G.A., Podlesnyi A.V., Ivanova V.A., Bessarab P.F. Generalized force approach to point-to-point ionospheric ray tracing and systematic identification of high and low rays // IEEE T Antenn. Propag. 2020. V. 68.№1. P. 455—467.
  8. Доброхотов С.Ю., Клименко М.В., Носиков И.А., Толченников А.А. Вариационный метод расчета лучевых траекторий и фронтов волн цунами, порожденных локализованным источником // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60.№8. С. 1439—1448.
  9. Доброхотов С.Ю., Носиков И.А., Толченников А.А. Принцип Мопертюи—Якоби и вариационный принцип Ферма в задаче о коротковолновой асимптотике решения уравнения Гельмгольца c локализованным источником // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2025. Т. 65. (в печати).
  10. Stoker J.J. Water Waves: The Mathematical Theory with Applications. New York: Wiley, 1958.
  11. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.
  12. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977.
  13. Mei C.C. The Applied Dynamics of Ocean Surface Waves. Singapore: World Sci., 1989.
  14. Назайкинский В.Е. Геометрия фазового пространства для волнового уравнения, вырождающегося на границе области // Матем. заметки. 2012. Т. 92.№1. С. 153—156.
  15. Назайкинский В.Е. Канонический оператор Маслова на лагранжевых многообразиях в фазовом пространстве, соответствующем вырождающемуся на границе волновому уравнению // Матем. заметки. 2014. Т. 96. №2. С. 261—276.
  16. Аникин А.Ю., Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е. Простые асимптотики обобщенного волнового уравнения с вырождающейся скоростью и их приложения в линейной задаче о набеге длинных волн на берег // Матем. заметки. 2018. Т. 104.№4. С. 483—504.
  17. Dobrokhotov S.Yu., Minenkov D.S., Nazaikinskii V.E. Asymptotic solutions of the Cauchy problem for the nonlinear shallow water equations in a basin with a gently sloping beach // Russ. J. Math. Phys. 2022. V. 29.№1. P. 28—36.
  18. Доброхотов С.Ю., Калиниченко В.А., Миненков Д.С., Назайкинский В.Е. Асимптотики длинных стоячих волн в одномерных бассейнах с пологими берегами: теория и эксперимент // Прикл. матем. и механ. 2023. Т. 87. №2. С. 157—175.
  19. Carrier G.F., Greenspan H.P. Water waves of finite amplitude on a sloping beach // J. Fluid Mech. 1958. V. 4. P. 97—109.
  20. Беляев М.Ю., Десинов Л.В., Крикалев С.К., Кумакшев С.А., Секерж-Зенькович С.Я. Идентификация системы океанских волн по фотоснимкам из космоса // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2009. № 1. С. 117—127.
  21. Беляев М.Ю., Виноградов П.В., Десинов Л.В., Кумакшев С.А., Секерж-Зенькович С.Я. Идентификация по фотоснимкам из космоса источника океанских кольцевых волн вблизи острова Дарвин // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2011. С. 70—83.
  22. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973.
  23. Доброхотов С.Ю., Миненков Д.С., Руло М. Принцип Мопертюи—Якоби для гамильтонианов вида f (x,|p|) в некоторых двумерных стационарных квазиклассических задачах // Матем. заметки. 2015. Т. 97. № 1. С. 48—57.
  24. Каток А.Б. Эргодические возмущения вырожденных интегрируемых гамильтоновых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1973. Т. 37.№3. С. 539—576.
  25. Носиков И.А., Толченников А.А., Клименко М.В. Краевая задача о расчете лучевых характеристик океанических волн, отраженных от береговой линии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2024. Т. 64.№3. С. 534—546.
  26. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анал. 1969. М.: ВИНИТИ, 1971. С. 7—252.
  27. Vukasinac T., Zhevandrov P. Geometric asymptotics for a degenerate hyperbolic equation // Russ. J. Math. Phys. 2002. V. 9.№3. P. 371—381.
  28. Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е. Униформизация уравнений с граничным вырождением бесселева типа и квазиклассические асимптотики // Матем. заметки. 2020. Т. 107.№5. С. 780—786.
  29. Назайкинский В.Е. Об эллиптическом операторе, вырождающемся на границе области // Функц. анализ и его прил. 2022. Т. 56.№4. С. 109—112.
  30. Bolotin S.V., Treshev D.V. Another billiard problem // Russ. J. Math. Phys. 2024. V. 31.№1. P. 50—59.
  31. Dobrokhotov S.Yu., Makrakis G., Nazaikinskii V.E. Fourier integrals and a new representation of Maslov’s canonical operator near caustics // Am. Math. Soc. Transl. 2014. V. 233. P. 95—115. Am. Math. Soc., Providence, RI.
  32. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976.
  33. Аникин А.Ю., Доброхотов С.Ю., Носиков И.А. Либрации с большими периодами в туннелировании: эффективное вычисление и приложение к тригональным димерам // ТМФ. 2022. Т. 213.№1. С. 163—190.
  34. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.
  35. Аникин А.Ю., Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Цветкова А.В. Равномерная асимптотика в виде функции Эйри для квазиклассических связанных состояний в одномерных и радиально-симметричных задачах // ТМФ. 2019. Т. 201.№3. С. 382—414.
  36. Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е. Лагранжевы многообразия и эффективные формулы для коротковолновых асимптотик в окрестности точки возврата каустики // Матем. заметки. 2020. Т. 108.№3. С. 334—359.
  37. Nazaikinskii V.E., Tolchennikov A.A. Constructive implementation of semiclassical asymptotic formulas in a neighborhood of a generic caustic cusp // Russ. J. Math. Phys. 2022. V. 29.№4. P. 545—554.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2025