Том 518 (2024)

Пусть гиперэллиптическая кривая $C$ рода $g$, определенная над алгебраически замкнутым полем $K$ характеристики 0, задана уравнением $y^2=f\left(x\right)$, где многочлен $f\left(x\right)\in K\left[x\right]$ свободен от квадратов и имеет нечетную степень $2g+1$. Кривая $C$ содержит единственную “бесконечную” точку $O$, которая является точкой Вейерштрасса. Существует классическое вложение $C\left(K\right)$ в группу $K$-точек $J\left(K\right)$ якобиева многообразия $J$ кривой $C$, отождествляющее точку $O$ с единичным элементом группы $J\left(K\right)$. При $2\le g\le 5$ в статье явно найдены представители классов бирациональной эквивалентности таких гиперэллиптических кривых $C$ с отмеченной единственной точкой на бесконечности $O$, что множество $C\left(K\right)\cap J\left(K\right)$ содержит не менее 6 точек кручения порядка $2g+1$. Ранее было известно, что при $g=2$ таких классов эквивалентности ровно 5, а при $g\ge 3$ была известна верхняя оценка, зависящая только от рода $g$. Мы улучшаем ранее известную верхнюю оценку почти в 36 раз.

Рассматривается прямолинейное движение материальной точки под действием двух сил меняющихся по степенным законам с произвольными показателями степеней. Находятся такие показатели степеней, при которых уравнение нелинейно, а период колебаний не зависит от начальных условий (таутохронное движение). Уравнения приводятся к гамильтоновой форме и методом нормальной гамильтоновой формы доказано, что существуют только два варианта таутохронного движения. Вариант 1: показатели степеней равны 1 и –3. Вариант 2: показатели степеней равны 0 и –1/2. При всех других степенных законах движение материальной точки не таутохронно. Гамильтонова нормальная форма таутохронного движения является гамильтонианом линейного осциллятора. Каноническое преобразование, приводящее исходный гамильтониан к нормальной форме, выражается через элементарные функции. Гамильтонианы таутохронных движений могут использоваться для тестирования программных комплексов вычисления нормальной гамильтоновой формы.

Настоящая работа посвящена локализации случайных 3-КНФ формул, полиномиально разрешимых резолюционным алгоритмом. Показано, что случайные формулы с числом дизъюнктов, пропорциональным квадрату числа переменных, с вероятностью близкой к единице полиномиально разрешимы при коэффициенте пропорциональности, превышающем найденный порог.

Найдена аналитическая оценка сверху максимальной ширины зоны, запрещенной для наступания, которую многоногий шагающий робот может преодолеть в режиме статической устойчивости. Используя математические модели шестиногого и четырехногого роботов с продольным расположением точек подвеса ног, показано, что полученная оценка является не улучшаемой. С этой целью сформированы следовые последовательности постановки ног робота, обеспечивающие достижение значения оценки. Для модели шестиногого робота найдена зависимость максимальной ширины зоны от длины корпуса.

Проведен сравнительный анализ точности численных схем TVD (Total Variation Diminishing) второго порядка, RBM (Rusanov-Burstein-Mirin) третьего порядка и A-WENO (Alternative Weighted Essentially Non-Oscillatory) пятого порядка по пространству и третьего порядка по времени при расчете специальной задачи Коши для уравнений мелкой воды с разрывными начальными данными, точное решение которой содержит центрированную волну разрежения и не содержит ударную волну. Показано, что внутри центрированной волны разрежения и в области ее влияния решения всех трех схем с различными порядками сходятся к разным инвариантам точного решения, что приводит к снижению точности этих схем при вычислении вектора базисных переменных рассматриваемой задачи Коши. Для теоретического обоснования данных численных результатов применяется P-форма первого дифференциального приближения разностных схем.

Настоящая статья посвящена совершенствованию методов распознавания сигналов на основе информационных характеристик спектра. Установлена дискретная функция нормированного упорядоченного спектра для единичной оконной функции, входящей в ДПФ. Доказаны леммы об оценках энтропии, дисбаланса и статистической сложности при обработке временного ряда независимых гауссовских величин. Предложены новые понятия одномерной и двумерной спектральных сложностей. Полученные теоретические результаты верифицированы численными экспериментами, которые подтвердили эффективность новой информационной характеристики при детектировании сигнала в смеси с белым шумом при малых отношениях сигнал/помеха.